Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze di base sul calcolo differenziale e integrale, sulle equazioni differenziali, sul calcolo delle probabilità e sui metodi fondamentali per la statistica inferenziale di risultati sperimentali. I requisiti richiesti riguardano le nozioni fondamentali di matematica: funzioni elementari, equazioni e disequazioni, rappresentazione cartesiana di punti e rette, trigonometria.
The course aims to provide students with the basic knowledge on the differential and integral calculus, differential equations, on calculus of probability and the basic methods of inferential statistics of the experimental results. The requirements concern the fundamental notions of mathematics: elementary functions, equations and inequalities, Cartesian representation of points and lines, trigonometry.
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Programma
ANALISI REALE
- Le successioni numeriche e le serie numeriche
- Calcolo infinitesimale: limiti,punti di continuità di una funzione; calcolo di limiti, le forme indeterminate, gli asintoti.
- Calcolo differenziale: derivata e regole di derivazione; funzioni crescenti e decrescenti, punti di massimo e di minimo; derivate di ordine superiore, convessità e concavità, punti di flesso; regola di de l’Hospital.
- Sviluppo di Taylor di una funzione. Calcolo di limiti con gli sviluppi di Taylor.
- Derivate parziali di funzioni in due o più variabili.
- Calcolo integrale: funzione primitiva, regole d'integrazione indefinita; calcolo di un area,funzione integrale;teorema fondamentale del calcolo integrale; integrali impropri.
- Equazioni differenziali: esempi di modelli matematici basati su equazioni differenziali; equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili;formulazione del problema di Cauchy, Teorema di esistenza e unicità della soluzione.
PROBABILITÀ e STATISTICA
- Calcolo combinatorio: disposizioni semplici e con ripetizione.
- Calcolo delle Probabilità: impostazione assiomatica; probabilità condizionata, eventi indipendenti; la regola di Bayes; distribuzioni di probabilità nel discreto (binomiale, Poisson), e nel continuo (Gaussiana, Chi-quadrato, t-student).
- Statistica descrittiva: classificazione dei dati,sintesi e rappresentazione dei dati mediante tabelle, istogrammi, poligoni di frequenza, diagrammi; misure di posizionamento e di dispersione.
- Campionamento e inferenza statistica: variabili campionarie, stimatori, stimatori corretti, stimatori efficienti; distribuzione dello stimatore media campionaria, inferenza puntuale di una media; la varianza campionaria; inferenza per intervallo di una media, verifica delle ipotesi per una media; distribuzione dello stimatore differenza di medie, stima puntuale di una differenza di medie, stima per intervallo di una differenza di media campionaria, verifica delle ipotesi per una differenza di medie; distribuzione dello stimatore proporzione campionaria, stima puntuale e per intervallo di una prporzione, verifica delle ipotesi per una proporzione. Tabelle di contingenza e test Chi-quadrato.
- Correlazione e regressione: covarianza e coefficiente di correlazione. Inferenza sul coefficiente di correlazione. Regressione lineare. Coefficienti della retta di regressione campionaria. Valutazione del modello lineare. Regressione non lineare: trasformazioni logaritmiche e logistiche.
REAL ANALYSIS
- Numerical sequences and series.
- Calculus: limits, continuity, indeterminate forms, asymptotes.
- Differential calculus: derivatives, derivation rules, increasing and decreasing functions, points of maxima and minimum, higher order derivatives, convexity and concavity, points of inflection. Rule of de l'Hospital.
- Taylor expansion of a function. Calculation of limits via Taylor expansions.
- Partial derivatives of functions in two or more variables.
- Integral calculus: primitive function, rules of indefinite integration, calculation of an area integral function; fundamental theorem of integral calculus, improper integrals.
- Differential equations: examples of mathematical models based on differential equations; first-order linear differential equations and with separable variables, the Cauchy problem, existence theorem and uniqueness of the solution.
PROBABILITY and STATISTICS
- Combinatorics: provisions simple and with repetition,
- Probability: axiomatic formulation; conditional probability, independent events, Bayes' rule; discrete probability distributions (binomial, Poisson), and continuous ones (Gaussian, chi-square, t-student).
- Descriptive statistics: data classification, synthesis and display of data, tables, histograms, frequency polygons, diagrams; positioning and measures of dispersion.
- Sampling and statistical inference: sample variables, estimators, unbiased estimators, efficient estimators; distribution of the sample mean estimator, accurate inference of an average; the sample variance; inference for a range of media, hypothesis testing for an average; distribution of the estimator difference of averages, the point estimate of a difference in averages, interval estimation of a difference of the sample mean, hypothesis testing for a difference of means; distribution of the estimator sample proportion, point estimate and range of a prporzione, verification of hypothesis for a proportion. Contingency tables and chi-square test.
- Correlation and regression: covariance and correlation coefficient. Inference on the correlation coefficient. Linear regression. Coefficients of the regression sample. Evaluation of the linear model. Nonlinear Regression and logarithmic transformations, logistic regression.
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